dimanche 12 février 2012

Localiser les sommets d'une courbe - partie 1/2

Combien y a-t-il de sommets sur la courbe ci-dessous ?
Facile : 3. OK. Et sur celle-ci ?

Hum, c’est presque pareil, sauf que...
Bon, on peut ergoter sur la question “c’est quoi un sommet ?” Disons que c’est tout sommet dont on voit qu’il est au-dessus du point 0.
Allons-y pour dire qu’il y en a 3.

Et là maintenant ?


Ah là c’est plus dur. Il y a comme un col de montagne, une ligne de creux qui relie deux sommets mais qui n’est pas si basse que ça pour autant.

On va utiliser une notion de seuil : une altitude de référence, à partir de laquelle on regarde les portions de courbe qui dépassent.

C’est ce que je fais ici, sur cette même courbe, en ajoutant un pointillé rouge.

OK, eh bien avec un seuil à cette hauteur-là, il y a 3 sommets, comme avant.

Mais si je baisse le seuil, ça va changer :

Le fameux col de montagne est au-dessus. Ce qui était il y a un instant le deuxième sommet fait maintenant partie d’un seul et même massif.

Poursuivons la comparaison avec les massifs de montagne : le Mont-Blanc est le plus haut sommet de France (4807m), et on dit que le Mont Maudit est le deuxième (4465m). Mais au fond, si on regarde la colline d'en face sur le massif du Mont Blanc, elle est peut-être à 4700m, donc c'est elle qui pourrait être la deuxième ! Seulement voilà, on considére la colline d'en face comme appartenant au Mont-Blanc, donc on ne la compte pas. Matériellement, on considère deux sommets comme distincts à condition qu'il y ait un vrai "vide" entre eux, c’est à dire un passage par une altitude basse. Comme notre seuil sur les graphiques.

Il n’y a donc que 2 sommets sur la dernière courbe.

Continuons, en remontant le seuil, pour voir :

Ici non plus, le sommet qui avait été le deuxième ne compte pas puisqu’il est sous le seuil. Donc 2. Et, signalons-le : ce sont les deux mêmes qu’avant.

Pour le fun, remontons encore un peu le seuil :

Ici, il ne reste plus qu’un seul sommet...



Identifier les sommets d’une courbe est un problème simple à énoncer et à comprendre.

Mais, comme on vient de le voir, il révèle un premier niveau de complexité dès qu’on veut les compter. Et là où ça se corse, c’est quand, en plus de les compter, on veut les localiser, c’est à dire connaître pour chacun son abscisse et son ordonnée.

Je me suis récemment penché sur une question de ce type, posée sur le forum Excel du site developpez.com. (Le fil de discussion est là.)

Le problème étant ainsi posé, mon prochain billet sera l’occasion de creuser ici cette question, de l’illustrer et d’en décomposer le raisonnement.

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